力學　第 7 章

功與動能

功是力在位移方向上的累積；功等於動能的改變，這個定理常比直接用牛頓定律更省力。

功

固定的力 $\vec F$ 作用在發生位移 $\vec d$ 的物體上，所作的功是兩向量的內積：

W=\vec F\cdot\vec d=Fd\cos\theta

單位是焦耳： $1\ \mathrm{J}=1\ \mathrm{N\cdot m}$ 。

力隨位置變化時，功是 $F$ - $x$ 圖下的面積： $W=\int F\,dx$ 。

虎克定律：彈簧力 $F=-kx$ ， $k$ 是彈力常數。把彈簧從平衡位置拉伸（或壓縮） $x$ ，外力作的功為：

W=\tfrac12 k x^2

質量 $m$ 、速率 $v$ 的物體動能：

K=\tfrac12 mv^2

功能定理：合力對物體所作的總功等於動能的變化。

W_{\text{net}}=\Delta K=\tfrac12mv_f^2-\tfrac12mv_i^2

常見錯誤

動能與方向無關，永遠是正的；功能定理裡要算的是合力的功，或把每個力的功都加起來。

做功的快慢：平均功率 $P=\dfrac{W}{t}$ ，瞬時功率 $P=\vec F\cdot\vec v$ 。單位是瓦特： $1\ \mathrm{W}=1\ \mathrm{J/s}$ 。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1用 50 N 的力沿與位移夾 60° 的方向拉箱子前進 10 m，這個力作功多少 J？

第 1 題答案 J

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$W=Fd\cos\theta=50\times10\times\cos60^\circ=250\ \mathrm{J}$ 。

2質量 1.2\times10^{3} kg 的車以 20 m/s 行駛，動能是多少 J？

第 2 題答案 J

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$K=\tfrac12mv^2=\tfrac12\times1.2\times10^{3}\times20^2=2.4\times10^{5}\ \mathrm{J}$ 。

3質量 1\times10^{3} kg 的車速度由 10 m/s 增加到 20 m/s，合力共作功多少 J？

第 3 題答案 J

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$W=\tfrac12m(v_2^2-v_1^2)=\tfrac12\times1\times10^{3}\times(20^2-10^2)=1.5\times10^{5}\ \mathrm{J}$ 。

4彈力常數 200 N/m 的彈簧，從原長拉長 0.3 m，外力作功多少 J？

第 4 題答案 J

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$W=\tfrac12kx^2=\tfrac12\times200\times0.3^2=9\ \mathrm{J}$ 。

5把 60 kg 的物體以等速舉高 5 m，費時 10 s，需要的平均功率是多少 W？取 $g=9.8$ 。

第 5 題答案 W

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$P=\dfrac{mgh}{t}=\dfrac{60\times9.8\times5}{10}=294\ \mathrm{W}$ 。