力學　第 8 章

位能與能量守恆

只有保守力作功時，動能加位能的總和不變；把摩擦等耗散的能量算進去，能量守恆永遠成立。

保守力與位能

如果一個力對物體所作的功只看起點和終點、與路徑無關，這個力是保守力（重力、彈簧力、靜電力）。對保守力可以定義位能 $U$ ，使得 $W_{\text{保守力}}=-\Delta U$ 。

摩擦力與空氣阻力是非保守力：它們把機械能變成熱。

只有保守力作功時：

K_i+U_i=K_f+U_f

解題時選一個位能零點，寫出起點與終點的總能量，令它們相等。

K_i+U_i+W_{\text{非保守}}=K_f+U_f

摩擦力作負功，損失的機械能 $=|f|\cdot d$ ，變成熱能。總能量（含熱能）永遠守恆。

常見錯誤

能量守恆只告訴你速率，不告訴你方向或時間。若題目問時間或力，通常還要回到牛頓定律。

從位能曲線 $U(x)$ 可以讀出力： $F=-\dfrac{dU}{dx}$ 。曲線的谷底是穩定平衡點，山頂是不穩定平衡點。

能量是純量，不用管路徑形狀。雲霄飛車從高度 $h$ 靜止滑下，到底部的速率只由 $h$ 決定： $v=\sqrt{2gh}$ ，軌道彎成什麼樣都一樣。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1質量 2 kg 的物體在地面上方 15 m，重力位能是多少 J？（地面為零點， $g=9.8$ ）

第 1 題答案 J

看解答

$U=mgh=2\times9.8\times15=294\ \mathrm{J}$ 。

2雲霄飛車從靜止開始，從高 30 m 處無摩擦滑下，到達底部的速率是多少 m/s？

第 2 題答案 m/s

看解答

$mgh=\tfrac12mv^2\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9.8\times30}=24.2\ \mathrm{m/s}$ 。

3彈力常數 400 N/m 的彈簧壓縮 0.1 m，把 0.05 kg 的木塊水平彈出（光滑），離開彈簧時的速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

看解答

$\tfrac12kx^2=\tfrac12mv^2\Rightarrow v=x\sqrt{k/m}=0.1\sqrt{400/0.05}=8.94\ \mathrm{m/s}$ 。

4擺長 1.5 m 的單擺，從與鉛直夾 60° 處靜止釋放，擺到最低點的速率是多少 m/s？

第 4 題答案 m/s

看解答

下降高度 $h=L(1-\cos\theta)=1.5(1-\cos60^\circ)$ ， $v=\sqrt{2gh}=3.83\ \mathrm{m/s}$ 。

5質量 2 kg 的物體從 3 m 高的斜面頂端靜止滑下，到底部速率為 6 m/s，摩擦力損失了多少 J 的機械能？取 $g=9.8$ 。

第 5 題答案 J

看解答

損失 $=mgh-\tfrac12mv^2=2\times9.8\times3-\tfrac12\times2\times6^2=22.8\ \mathrm{J}$ 。