力學　第 9 章

動量與碰撞

沒有外力時總動量不變：碰撞、爆炸、反衝都靠它解；再區分彈性與非彈性碰撞的能量。

動量與衝量

動量是向量：

\vec p=m\vec v

牛頓第二定律的更一般形式是 $\vec F_{\text{net}}=\dfrac{d\vec p}{dt}$ 。力在一段時間內的累積叫衝量，等於動量的改變：

\vec J=\int\vec F\,dt=\vec F_{\text{avg}}\Delta t=\Delta\vec p

同樣的動量改變，拉長作用時間可以減小力，這就是安全氣囊與軟墊的原理。

一個系統不受外力（或外力的總和為零），總動量不變：

m_1\vec v_{1i}+m_2\vec v_{2i}=m_1\vec v_{1f}+m_2\vec v_{2f}

碰撞時間極短、內力遠大於外力，所以碰撞前後動量近似守恆。

一維彈性碰撞，若 $m_2$ 原本靜止：

v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i},\qquad v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}

常見錯誤

動量守恆永遠成立，動能守恆只在彈性碰撞成立。不要在非彈性碰撞裡把動能也寫成守恆。

質點系統的質心 $\vec r_{cm}=\dfrac{\sum m_i\vec r_i}{\sum m_i}$ 。沒有外力時，質心的速度不變，不論內部怎麼爆炸或碰撞。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1質量 0.145 kg 的棒球以 40 m/s 飛行，動量大小是多少 kg·m/s？

第 1 題答案 kg·m/s

看解答

$p=mv=0.145\times40=5.8\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ 。

2球棒對球施以平均 800 N 的力，作用 0.02 s，衝量是多少 N·s？

第 2 題答案 N·s

看解答

$J=F\Delta t=800\times0.02=16\ \mathrm{N\cdot s}$ 。

3質量 1\times10^{3} kg 的車以 15 m/s 撞上靜止的 1.5\times10^{3} kg 車並黏在一起，碰後速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

看解答

$v_f=\dfrac{m_1v}{m_1+m_2}=\dfrac{1\times10^{3}\times15}{1\times10^{3}+1.5\times10^{3}}=6\ \mathrm{m/s}$ 。

4質量 2 kg、速率 6 m/s 的球與靜止的 4 kg 球作一維彈性碰撞，被撞球碰後速率是多少 m/s？

第 4 題答案 m/s

看解答

$v_{2f}=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v=\dfrac{2\times2}{2+4}\times6=4\ \mathrm{m/s}$ 。

5冰面上質量 80 kg 的人原本靜止，把 2 kg 的球以 10 m/s 水平丟出，人反向滑動的速率是多少 m/s？

第 5 題答案 m/s

看解答

動量守恆： $0=mv-Mu\Rightarrow u=\dfrac{mv}{M}=\dfrac{2\times10}{80}=0.25\ \mathrm{m/s}$ 。