力學　第 10 章

定軸轉動

轉動的每個量都對應直線運動的一個量：角位移、角速度、角加速度、轉動慣量與力矩。

角量

物體繞固定軸轉動，用角度 $\theta$ （單位弧度，rad）描述位置。

角速度 $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$ ，單位 rad/s
角加速度 $\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$ ，單位 rad/s²

$2\pi\ \mathrm{rad}=360^\circ$ ，轉速 $n$ rpm 換成角速度： $\omega=\dfrac{2\pi n}{60}$ 。

距轉軸 $r$ 處的線速率與切線加速度： $v=r\omega$ ， $a_t=r\alpha$ 。

與直線運動對照

角加速度固定時，公式與直線運動完全對應：

\omega=\omega_0+\alpha t,\qquad \theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2,\qquad \omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta

轉動慣量

轉動慣量 $I$ 是物體抗拒轉動變化的程度，扮演質量的角色：

I=\sum m_ir_i^2

質量離轉軸越遠， $I$ 越大。常見形狀（繞通過質心的軸）：

實心圓盤或圓柱： $I=\tfrac12MR^2$
薄圓環： $I=MR^2$
實心球： $I=\tfrac25MR^2$
細桿（繞中心）： $I=\tfrac1{12}ML^2$

力矩

力造成轉動的效果叫力矩：

\vec\tau=\vec r\times\vec F,\qquad |\tau|=rF\sin\phi

轉動的牛頓第二定律：

\sum\tau=I\alpha

常見錯誤

力矩要看力臂，也就是力的作用線到轉軸的垂直距離。力沿著轉軸方向推，力矩是 $0$ 。

轉動動能與滾動

K_{\text{rot}}=\tfrac12I\omega^2

不打滑的滾動 $v_{cm}=R\omega$ ，總動能 $=\tfrac12Mv_{cm}^2+\tfrac12I\omega^2$ 。所以同一個斜坡上，質量集中在中心的物體滾得快（分到轉動動能比較少）。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1轉速 3\times10^{3} rpm，角速度是多少 rad/s？

第 1 題答案 rad/s

看解答

$\omega=\dfrac{2\pi n}{60}=\dfrac{2\pi\times3\times10^{3}}{60}=314\ \mathrm{rad/s}$ 。

2飛輪從靜止開始，以 4 rad/s² 的角加速度轉了 5 s，轉過的角度是多少 rad？

第 2 題答案 rad

看解答

$\theta=\tfrac12\alpha t^2=\tfrac12\times4\times5^2=50\ \mathrm{rad}$ 。

3質量 2 kg、半徑 0.3 m 的實心圓盤，繞中心軸的轉動慣量是多少 kg·m²？

第 3 題答案 kg·m²

看解答

$I=\tfrac12MR^2=\tfrac12\times2\times0.3^2=0.09\ \mathrm{kg\cdot m^2}$ 。

4在距轉軸 0.4 m 處施 30 N 的垂直力，物體轉動慣量 0.6 kg·m²，角加速度是多少 rad/s²？

第 4 題答案 rad/s²

看解答

$\tau=rF=0.4\times30=12\ \mathrm{N\cdot m}$ ， $\alpha=\tau/I=12/0.6=20\ \mathrm{rad/s^2}$ 。

5實心圓柱從高 2 m 的斜面靜止無滑動滾下，到底部質心速率是多少 m/s？

第 5 題答案 m/s

看解答

$Mgh=\tfrac12Mv^2+\tfrac12(\tfrac12MR^2)(v/R)^2=\tfrac34Mv^2$ ，所以 $v=\sqrt{\tfrac43gh}=\sqrt{\tfrac43\times9.8\times2}=5.11\ \mathrm{m/s}$ 。

定軸轉動

角量

與直線運動對照

轉動慣量

力矩

轉動動能與滾動

練習題

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