力學　第 11 章

角動量

角動量是轉動版的動量；沒有外力矩時它守恆，溜冰選手收手轉得更快就是這個道理。

定義

質點的角動量：

\vec L=\vec r\times\vec p,\qquad |L|=mvr\sin\phi

繞定軸轉動的剛體：

L=I\omega

單位是 $\mathrm{kg\cdot m^2/s}$ 。

\sum\vec\tau=\frac{d\vec L}{dt}

對照直線運動的 $\sum\vec F=d\vec p/dt$ 。力矩作用一段時間 $\Delta t$ ，角動量改變 $\tau\,\Delta t$ （定軸、 $\tau$ 固定時）。

外力矩的總和為零時，角動量不變：

I_i\omega_i=I_f\omega_f

常見錯誤

角動量守恆時，轉動動能通常不守恆。收手時選手作功，動能增加；人跳上圓盤是非彈性過程，動能減少。

太陽的引力指向太陽，對行星的力矩為零，所以角動量守恆： $mvr$ 固定， $r$ 小時 $v$ 大。這也等價於克卜勒第二定律（等面積定律）。

陀螺的轉軸會繞鉛直軸慢慢轉動，這是力矩改變角動量的「方向」造成的： $d\vec L=\vec\tau\,dt$ ，所以 $\vec L$ 會往力矩的方向偏。

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1轉動慣量 0.5 kg·m² 的物體以 10 rad/s 轉動，角動量是多少 kg·m²/s？

第 1 題答案 kg·m²/s

看解答

$L=I\omega=0.5\times10=5$ 。

2溜冰選手手臂張開時 $I_1=4\ \mathrm{kg\cdot m^2}$ 、角速度 2 rad/s，收攏手臂後 $I_2=1.6\ \mathrm{kg\cdot m^2}$ ，新的角速度是多少 rad/s？

第 2 題答案 rad/s

看解答

$I_1\omega_1=I_2\omega_2\Rightarrow\omega_2=\dfrac{4\times2}{1.6}=5\ \mathrm{rad/s}$ 。

3質量 2 kg 的質點以 3 m/s 的速率運動，運動方向與位置向量垂直，位置向量長 4 m，角動量是多少 kg·m²/s？

第 3 題答案 kg·m²/s

看解答

$L=mvr\sin90^\circ=2\times3\times4=24$ 。

4轉動慣量 2 kg·m² 的靜止物體受到固定力矩 5 N·m 作用 3 s，角速度變為多少 rad/s？

第 4 題答案 rad/s

看解答

$\tau t=\Delta L=I\omega\Rightarrow\omega=\dfrac{\tau t}{I}=\dfrac{5\times3}{2}=7.5\ \mathrm{rad/s}$ 。

5轉動慣量 200 kg·m² 的圓盤以 1.5 rad/s 轉動，質量 30 kg 的小孩輕輕跳上邊緣（半徑 2 m），小孩原本靜止，之後的角速度是多少 rad/s？

第 5 題答案 rad/s

看解答

$I\omega=(I+mr^2)\omega'$ ， $\omega'=\dfrac{200\times1.5}{200+30\times2^2}=0.938\ \mathrm{rad/s}$ 。