力學　第 12 章

靜力平衡與彈性

物體保持靜止的條件是合力為零且合力矩為零；再加上固體受力後怎麼變形。

平衡的兩個條件

物體保持靜止（或等速）需要：

\sum\vec F=0\quad\text{且}\quad\sum\vec\tau=0

平面問題有三條方程式： $\sum F_x=0$ 、 $\sum F_y=0$ 、 $\sum\tau=0$ （對任一點）。

常見錯誤

「物體不動」不代表只要合力為零。合力為零但力矩不為零，物體會轉起來。

x_{cm}=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}

物體的支撐點在質心的正下方時才能穩定。

固體受力會變形。

在彈性限度內，應力與應變成正比（虎克定律的材料版）。超過限度就會永久變形，再超過就斷裂。

鋼的 $E\approx2.0\times10^{11}\ \mathrm{Pa}$ ，所以鋼很硬，拉一下幾乎不伸長。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1蹺蹺板兩側，一邊 40 kg 的小孩坐在距支點 2 m 處，另一邊 50 kg 的人要坐在距支點多少 m 才能平衡？

第 1 題答案 m

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$m_1d_1=m_2d_2\Rightarrow d_2=\dfrac{40\times2}{50}=1.6\ \mathrm{m}$ 。

2長 4 m、質量 20 kg 的均勻橫樑，兩端各有支撐。距左端 1 m 處放一個 50 kg 的物體，右端支撐力是多少 N？取 $g=9.8$ 。

第 2 題答案 N

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對左端取力矩： $N_R L=Mg\dfrac L2+Wg\,x\Rightarrow N_R=\dfrac{20\times9.8\times2+50\times9.8\times1}{4}=220\ \mathrm{N}$ 。

3質量 20 kg 的物體由兩條對稱的纜繩吊著，每條纜繩與水平夾 30°，每條纜繩的張力是多少 N？

第 3 題答案 N

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鉛直方向： $2T\sin\theta=mg\Rightarrow T=\dfrac{mg}{2\sin\theta}=\dfrac{20\times9.8}{2\sin30^\circ}=196\ \mathrm{N}$ 。

4鋼線長 2 m、截面積 1\times10^{-6} m²，楊氏模數 $E=2.0\times10^{11}$ Pa，受 200 N 拉力，伸長多少 mm？

第 4 題答案 mm

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$\Delta L=\dfrac{FL}{AE}=\dfrac{200\times2}{1\times10^{-6}\times2.0\times10^{11}}=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{mm}$ 。

5質量 2 kg 的質點在 $x=0$ ，質量 3 kg 的質點在 $x=5$ m，質心在哪個位置（m）？

第 5 題答案 m

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$x_{cm}=\dfrac{2\times0+3\times5}{2+3}=3\ \mathrm{m}$ 。