力學　第 13 章

萬有引力

任何兩個質量之間都有引力；從蘋果落地到衛星軌道、克卜勒三定律，都是同一條定律。

牛頓萬有引力定律

兩個質點之間的引力大小：

F=\frac{GMm}{r^2}

$G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$ 。力是相吸的，且互為作用與反作用。

本章用地球質量 $M_E=5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$ 、半徑 $R_E=6.371\times10^6\ \mathrm{m}$ 。

在離地心 $r$ 處， $g(r)=\dfrac{GM_E}{r^2}$ 。在地表 $r=R_E$ ， $g\approx9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。高度越高， $g$ 越小，但在近地軌道（約 400 km）仍有約 $8.7\ \mathrm{m/s^2}$ 。

常見錯誤

太空站上的人「無重力」不是因為那裡沒有引力，而是太空站與人一起繞地球自由落下，沒有東西把人頂在地板上。

引力提供向心力： $\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$ ，所以：

v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

引力位能（零點在無窮遠）：

U=-\frac{GMm}{r}

總能量 $E=K+U<0$ 是被束縛的軌道。要脫離地球，總能量至少為 $0$ ：

\tfrac12mv^2=\frac{GMm}{R}\ \Rightarrow\ v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx11.2\ \mathrm{km/s}

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1質量 70 kg 的人站在地表，地球對他的引力是多少 N？（用本章的 $G$ 、 $M_E$ 、 $R_E$ ）

第 1 題答案 N

看解答

$F=\dfrac{GM_Em}{R_E^2}=\dfrac{6.674\times10^{-11}\times5.972\times10^{24}\times70}{(6.371\times10^6)^2}=687\ \mathrm{N}$ 。

2高度 400 km 處的重力加速度是多少 m/s²？

第 2 題答案 m/s²

看解答

$g=\dfrac{GM_E}{(R_E+h)^2}=\dfrac{GM_E}{(6.371\times10^6+400\times10^3)^2}=8.69\ \mathrm{m/s^2}$ 。

3高度 400 km 的圓軌道，衛星速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

看解答

$v=\sqrt{\dfrac{GM_E}{R_E+h}}=7.67\times10^{3}\ \mathrm{m/s}$ （約 $7.7\ \mathrm{km/s}$ ）。

4軌道半徑 4.22\times10^{7} m（距地心）的衛星，繞地球一圈要幾小時？

第 4 題答案小時

看解答

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_E}}=8.63\times10^{4}\ \mathrm{s}=24\ \mathrm{h}$ ，接近 24 小時，這就是同步衛星。

5地球的脫離速度是多少 m/s？

第 5 題答案 m/s

看解答

$v_{esc}=\sqrt{\dfrac{2GM_E}{R_E}}=1.12\times10^{4}\ \mathrm{m/s}$ 。