力學　第 14 章

流體

靜止流體的壓力隨深度增加，浮力等於排開流體的重；流動時，流速越快壓力越小。

密度與壓力

密度 $\rho=\dfrac mV$ ，水約 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ 。壓力是單位面積受的垂直力：

P=\frac FA,\qquad 1\ \mathrm{Pa}=1\ \mathrm{N/m^2}

大氣壓約 $1.01\times10^5\ \mathrm{Pa}$ 。

靜止流體的壓力

流體內深度 $h$ 處的壓力：

P=P_0+\rho gh

$\rho gh$ 叫錶壓（比大氣壓多出來的部分）。壓力只跟深度有關，跟容器形狀無關。

帕斯卡原理：施在密閉流體上的壓力會原封不動傳到各處。油壓千斤頂利用它： $\dfrac{F_1}{A_1}=\dfrac{F_2}{A_2}$ ，小力在小面積換成大力在大面積。

浮力

浮力等於物體排開流體的重量（阿基米德原理）：

F_B=\rho_{\text{流體}}\,V_{\text{排開}}\,g

浮在水面的物體，浮力等於自身重量，所以浸入體積的比例是 $\dfrac{V_{\text{浸}}}{V}=\dfrac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{流體}}}$ 。

常見錯誤

浮力的大小只看排開的流體體積，不看物體多重。同樣大小的鐵塊與木塊全浸在水中時，浮力相同。

流體的流動

理想流體（不可壓縮、無黏滯）：

連續方程式： $A_1v_1=A_2v_2$ ，管子變細流速變快
白努利方程式：沿流線 $P+\tfrac12\rho v^2+\rho gy=\text{定值}$

白努利說明：同一高度，流速越快壓力越小。這就是飛機機翼產生升力、噴霧器吸水的原因。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1水下 10 m 深處的錶壓是多少 Pa？水的密度取 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ， $g=9.8$ 。

第 1 題答案 Pa

看解答

$P=\rho gh=1000\times9.8\times10=9.8\times10^{4}\ \mathrm{Pa}$ 。

2油壓千斤頂小活塞面積 0.01 m²、大活塞面積 0.5 m²。小活塞上施 200 N，大活塞能舉起多大的力（N）？

第 2 題答案 N

看解答

$F_2=F_1\dfrac{A_2}{A_1}=200\times\dfrac{0.5}{0.01}=1\times10^{4}\ \mathrm{N}$ 。

3邊長 0.2 m 的立方體完全浸沒在水中，受到的浮力是多少 N？

第 3 題答案 N

看解答

$F_B=\rho gV=1000\times9.8\times0.2^3=78.4\ \mathrm{N}$ 。

4密度 600 kg/m³ 的木塊浮在水面（水 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ），體積有多少比例浸在水裡？（輸入 0 到 1 的小數）

第 4 題答案

看解答

浮力等於重量： $\dfrac{V_{\text{浸}}}{V}=\dfrac{\rho_{\text{木}}}{\rho_{\text{水}}}=\dfrac{600}{1000}=0.6$ 。

5水管內徑從 10 cm 縮到 5 cm，粗的地方流速 2 m/s，細的地方比粗的地方壓力小多少 Pa？（水 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ）

第 5 題答案 Pa

看解答

連續方程式： $v_2=v_1(d_1/d_2)^2=2\times(10/5)^2=8\ \mathrm{m/s}$ ；白努利： $\Delta P=\tfrac12\rho(v_2^2-v_1^2)=\tfrac12\times1000\times(64-4)=3\times10^{4}\ \mathrm{Pa}$ 。

流體

密度與壓力

靜止流體的壓力

浮力

流體的流動

練習題

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