振動與波　第 15 章

簡諧運動

回復力與位移成正比的運動叫簡諧運動；彈簧與單擺都是它，能量在動能與位能之間來回。

什麼是簡諧運動

物體受的回復力與位移成正比、方向相反： $F=-kx$ ，運動就是簡諧運動。位移隨時間呈正弦變化：

x(t)=A\cos(\omega t+\phi)

速度 $v=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$ ，加速度 $a=-\omega^2x$ 。最大速率 $v_{max}=A\omega$ ，最大加速度 $a_{max}=A\omega^2$ 。

質量 $m$ 、彈力常數 $k$ ：

\omega=\sqrt{\frac km},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac mk}

常見錯誤

週期與振幅無關，只由 $m$ 與 $k$ 決定。拉得更遠，走的路更長，但速度也更快，剛好抵消。

T=2\pi\sqrt{\frac Lg}

只在擺角小（約 $15^\circ$ 以內）時成立；週期與擺錘質量無關。

彈簧振子的總能量固定：

E=\tfrac12kA^2=\tfrac12mv^2+\tfrac12kx^2

在最大位移處全是位能，通過平衡位置時全是動能。由此可得任一位置的速率：

v=\sqrt{\frac km\,(A^2-x^2)}

有摩擦時振幅會逐漸衰減（阻尼）。外力以接近系統自然頻率驅動時，振幅會變得很大，叫共振，例如推鞦韆、橋梁被風吹到共振而損壞。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1質量 0.5 kg 的物體掛在 200 N/m 的彈簧上，振動週期是多少 s？

第 1 題答案 s

看解答

$T=2\pi\sqrt{m/k}=2\pi\sqrt{0.5/200}=0.314\ \mathrm{s}$ 。

2擺長 1 m 的單擺（小角度），週期是多少 s？取 $g=9.8$ 。

第 2 題答案 s

看解答

$T=2\pi\sqrt{L/g}=2\pi\sqrt{1/9.8}=2.01\ \mathrm{s}$ 。

3彈簧振子 $k=50\ \mathrm{N/m}$ 、 $m=0.2\ \mathrm{kg}$ ，振幅 0.1 m，最大速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

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$v_{max}=A\omega=A\sqrt{k/m}=0.1\sqrt{50/0.2}=1.58\ \mathrm{m/s}$ 。

4彈簧振子 $k=200\ \mathrm{N/m}$ ，振幅 0.05 m，總能量是多少 J？

第 4 題答案 J

看解答

$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12\times200\times0.05^2=0.25\ \mathrm{J}$ 。

5 $k=100\ \mathrm{N/m}$ 、 $m=1\ \mathrm{kg}$ 、振幅 0.2 m 的振子，在位移 0.1 m 處的速率是多少 m/s？

第 5 題答案 m/s

看解答

$v=\sqrt{\dfrac km(A^2-x^2)}=\sqrt{100/1\times(0.2^2-0.1^2)}=1.73\ \mathrm{m/s}$ 。