力學　第 6 章

摩擦、斜面與圓周運動

把牛頓第二定律用到摩擦力、斜面和圓周軌道：重點是選對座標軸，以及記得向心力不是新的力。

摩擦力

接觸面之間的摩擦力平行於表面。

$\mu$ 沒有單位，通常 $\mu_k<\mu_s$ 。

常見錯誤

正向力 $N$ 不一定等於 $mg$ 。在斜面上、或被斜向拉著時，要用垂直接觸面的方程式去解。

沿斜面為 $x$ 軸、垂直斜面為 $y$ 軸，重力分解成：

mg\sin\theta\ (\text{沿斜面向下}),\qquad mg\cos\theta\ (\text{壓向斜面})

所以 $N=mg\cos\theta$ ，下滑加速度 $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$ 。

做圓周運動需要一個指向圓心的合力：

F_c = ma_c = \frac{mv^2}{r}

「向心力」只是合力指向圓心的那部分的名字，不是新的力。畫受力圖時不要另外畫一個「向心力」。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1一個 20 kg 的箱子在水平地板上滑動， $\mu_k=0.3$ ，動摩擦力是多少 N？取 $g=9.8$ 。

第 1 題答案 N

看解答

$f=\mu_k N=\mu_k mg=0.3\times20\times9.8=58.8\ \mathrm{N}$ 。

2斜面傾角 30°， $\mu_k=0.2$ ，物體下滑的加速度是多少 m/s²？

第 2 題答案 m/s²

看解答

$a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)=9.8(\sin30^\circ-0.2\cos30^\circ)=3.2\ \mathrm{m/s^2}$ 。

3水平路面轉彎半徑 50 m， $\mu_s=0.6$ ，車子不打滑的最大速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

看解答

摩擦力提供向心力： $\mu_s mg=mv^2/r\Rightarrow v=\sqrt{\mu_s g r}=\sqrt{0.6\times9.8\times50}=17.1\ \mathrm{m/s}$ 。

4半徑 100 m 的傾斜彎道，要讓車以 20 m/s 通過而不靠摩擦，傾角應為幾度？

第 4 題答案度

看解答

$\tan\theta=\dfrac{v^2}{rg}=\dfrac{20^2}{100\times9.8}$ ， $\theta=22.2^\circ$ 。

5光滑水平面上，用 50 N 的力以與水平夾 30° 向上拉 10 kg 的木塊，加速度是多少 m/s²？

第 5 題答案 m/s²

看解答

水平分量 $F\cos\theta=50\cos30^\circ$ ， $a=F\cos\theta/m=4.33\ \mathrm{m/s^2}$ 。