力學　第 2 章

向量

有大小又有方向的量要用向量；會分解、會相加、會算內積外積，力學與電磁學都用得到。

純量與向量

只有大小的量是純量，例如質量、時間、溫度。有大小也有方向的量是向量，例如位移、速度、力。向量在文字裡用 $\vec{A}$ 表示，大小寫成 $|\vec{A}|$ 或 $A$ 。

把向量投影到座標軸上，得到分量。大小為 $A$ 、與 $x$ 軸夾角 $\theta$ 的向量：

A_x = A\cos\theta,\qquad A_y = A\sin\theta

反過來，由分量求大小與方向：

A=\sqrt{A_x^2+A_y^2},\qquad \theta=\arctan\frac{A_y}{A_x}

常見錯誤

用 $\arctan$ 時要看分量的正負決定象限。計算機給出的角度只在 $-90^\circ$ 到 $90^\circ$ 之間。

相加最可靠的方法是分量法： $x$ 分量加 $x$ 分量， $y$ 分量加 $y$ 分量。

\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\ \Rightarrow\ C_x=A_x+B_x,\quad C_y=A_y+B_y

兩向量的內積得到一個純量，用來求「一個向量在另一個方向上有多少」，之後會用在功：

\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z

兩向量垂直時內積為 $0$ 。

外積得到另一個向量，方向由右手定則決定，大小為：

|\vec{A}\times\vec{B}|=AB\sin\theta

之後的力矩、角動量、磁力都是外積。注意 $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$ ，順序不能換。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1一個大小 10 m 的位移，與 $x$ 軸夾 30°。它的 $x$ 分量是多少 m？

第 1 題答案 m

看解答

$A_x=A\cos\theta=10\cos30^\circ=8.66\ \mathrm{m}$ 。

2 $\vec{A}=(3,4)$ 、 $\vec{B}=(-1,2)$ ，求 $|\vec{A}+\vec{B}|$ 。

第 2 題答案

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$\vec{A}+\vec{B}=(2,6)$ ，大小 $=\sqrt{2^2+6^2}=6.32$ 。

3 $\vec{A}+\vec{B}=(2,6)$ ，它與 $x$ 軸的夾角是幾度？

第 3 題答案度

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$\theta=\arctan(6/2)=71.6^\circ$ ，兩個分量都為正，在第一象限。

4 $\vec{A}=(2,3,1)$ 、 $\vec{B}=(4,-1,2)$ ，求內積 $\vec{A}\cdot\vec{B}$ 。

第 4 題答案

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$2\times4+3\times(-1)+1\times2=7$ 。

5兩向量大小分別為 3 與 4，夾角 30°，求外積的大小。

第 5 題答案

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$AB\sin\theta=3\times4\times\sin30^\circ=6$ 。