力學　第 1 章

單位與測量

物理量由「數字加單位」組成；學會換算、看量綱、抓有效位數，後面每一章的計算都靠這一章。

為什麼先談單位

物理在描述「量」，一個量一定是數字加單位，例如 $12\ \mathrm{m}$ 不是 $12$ 。單位寫錯，答案就錯，而且常常錯得很離譜。

國際單位制（SI）有七個基本單位，普通物理常用其中四個：

長度：公尺（m）
質量：公斤（kg）
時間：秒（s）
電流：安培（A）

其他單位都由它們組合而成，例如速度是 $\mathrm{m/s}$ ，力是 $\mathrm{kg\cdot m/s^2}$ ，我們稱它為牛頓（N）。

單位換算

換算的方法是乘以「等於 1 的分數」。要把 $90\ \mathrm{km/h}$ 換成 $\mathrm{m/s}$ ：

90\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times\frac{1000\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{km}}\times\frac{1\ \mathrm{h}}{3600\ \mathrm{s}}=25\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

寫出每一個分數，你就不會把乘法和除法搞反。

重點

記一個速成： $\mathrm{km/h}$ 除以 $3.6$ 就是 $\mathrm{m/s}$ 。

量綱分析

等號兩邊的量綱（長度 $L$ 、質量 $M$ 、時間 $T$ 的組合）一定要相同。用它可以檢查公式有沒有寫錯：位移 $x=\tfrac12 a t^2$ ，右邊是 $\dfrac{L}{T^2}\cdot T^2=L$ ，跟左邊一致，這個公式量綱合理。

常見錯誤

量綱對不代表公式對（係數 $\tfrac12$ 量綱檢查不出來），但量綱不對一定是錯的。

有效位數

測量結果只能到儀器的精度。計算時：

乘除：結果的有效位數取決於有效位數最少的那個數
加減：結果的小數位數取決於小數位數最少的那個數
中間過程多留一兩位，只在最後答案四捨五入

數量級估算

估算只求「差不多是幾位數」，例如一個人一生心跳約幾次。把問題拆成容易估的小塊再相乘，這叫費米估算。答案對到 10 倍以內就算成功。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1一輛車以 108 km/h 行駛，速度是多少 m/s？

第 1 題答案 m/s

提示

除以 $3.6$。

看解答

$108 \times \dfrac{1000}{3600} = 30\ \mathrm{m/s}$

2鐵的密度約 7.87 g/cm³，換算成 kg/m³ 是多少？

第 2 題答案 kg/m³

看解答

$1\ \mathrm{g/cm^3}=1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ，所以 $7.87\times1000=7.87\times10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ 。

3長方形長 2.35 m、寬 1.2 m（各量到小數第二位與第一位），面積用有效位數規則應寫成多少 m²？答案以兩位有效位數輸入。

第 3 題答案 m²

看解答

$2.35\times1.2=2.82$ ，寬只有 2 位有效位數，所以結果取 2 位： $2.8\ \mathrm{m^2}$ 。

4一個人心跳每分鐘 70 次，活到 80 歲，一生心跳約幾次？（一年取 365 天）

第 4 題答案次

看解答

$70\times60\times24\times365\times80 = 2.94\times10^{9}$ 次，約 $3\times10^9$ 。

5一光年是光在真空中一年走的距離。取 $c=2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}$ 、一年 $3.156\times10^7\ \mathrm{s}$ ，一光年約多少公尺？

第 5 題答案 m

看解答

$c\times t = 2.998\times10^8\times3.156\times10^7 = 9.46\times10^{15}\ \mathrm{m}$ 。