力學　第 4 章

二維運動與拋體

把二維運動拆成互不干擾的水平與鉛直兩個一維運動，就能處理拋體；再加上等速圓周運動與相對運動。

二維運動的核心想法

位置、速度、加速度都變成向量。最重要的觀念是： $x$ 方向和 $y$ 方向的運動可以分開算，兩邊只共用同一個時間 $t$ 。

忽略空氣阻力，只受重力。以初速 $v_0$ 、仰角 $\theta$ 拋出：

水平方向（等速）： $v_x=v_0\cos\theta$ ， $x=v_0\cos\theta\cdot t$
鉛直方向（加速度 $-g$ ）： $v_y=v_0\sin\theta-gt$ ， $y=v_0\sin\theta\cdot t-\tfrac12 g t^2$

由此可得兩個常用結果（落回同一高度時）：

H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\ (\text{最大高度}),\qquad R=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\ (\text{水平射程})

常見錯誤

在最高點，鉛直速度是 $0$ ，但水平速度不是 $0$ 。速度的水平分量從頭到尾都不變。

射程在 $\theta=45^\circ$ 最大，而 $\theta$ 與 $90^\circ-\theta$ 的射程相同。

速率固定但方向一直在變，所以有加速度，方向指向圓心，稱為向心加速度：

a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2 r}{T^2}

「對地面的速度」等於「對移動參考系的速度」加上「該參考系對地面的速度」： $\vec v_{\text{對地}}=\vec v_{\text{對水}}+\vec v_{\text{水對地}}$ 。向量要用分量法相加。

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1以 20 m/s、仰角 30° 拋出，落回同一高度，水平射程是多少 m？取 $g=9.8$ 。

第 1 題答案 m

看解答

$R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}=\dfrac{20^2\sin(2\times30^\circ)}{9.8}=35.3\ \mathrm{m}$ 。

2以 20 m/s、仰角 53° 拋出，最大高度是多少 m？

第 2 題答案 m

看解答

$v_{0y}=20\sin53^\circ$ ， $H=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=13\ \mathrm{m}$ 。

3從 80 m 高的懸崖以 15 m/s 水平射出，水平飛行多遠（m）？取 $g=9.8$ 。

第 3 題答案 m

看解答

落地時間 $t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{2\times80/9.8}=4.04\ \mathrm{s}$ ，水平距離 $x=vt=15\times4.04=60.6\ \mathrm{m}$ 。

4半徑 0.5 m 的圓周，繞一圈需 2 s，等速率，向心加速度是多少 m/s²？

第 4 題答案 m/s²

看解答

$a_c=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}=\dfrac{4\pi^2\times0.5}{2^2}=4.93\ \mathrm{m/s^2}$ 。

5船以相對水 4 m/s 的速率垂直河岸划行，河水流速 3 m/s，船相對岸的速率是多少 m/s？

第 5 題答案 m/s

看解答

兩個垂直分量： $\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{m/s}$ 。