電磁學　第 30 章

磁場的來源

電流產生磁場；長直導線、圓環、螺線管的磁場公式，加上安培定律與平行導線之間的力。

電流產生磁場

1820 年厄斯特發現通電導線會讓指南針偏轉：電流周圍有磁場。方向用右手定則：拇指指電流方向，四指彎曲的方向就是磁場繞導線的方向。

真空磁導率 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$ 。

必歐-沙伐定律

小段電流 $I\,d\vec l$ 在距離 $r$ 處的磁場：

d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}

把全部電流段積分，就得到下面的結果。

常用的結果

長直導線，距離 $r$ ： $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$
圓形線圈中心（半徑 $R$ 、 $N$ 匝）： $B=\dfrac{\mu_0NI}{2R}$
長螺線管內部（每公尺 $n$ 匝）： $B=\mu_0nI$ ，內部均勻，外部近似為零

安培定律

沿任一封閉路徑的環流，由穿過它的電流決定：

\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{\text{enc}}

它在電流分布對稱時很好用（像高斯定律對電場），長直導線與螺線管的公式都可以這樣推出。

平行導線之間的力

導線 1 的磁場作用在導線 2 上，每單位長度的力：

\frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}

同向電流相吸，反向電流相斥。 國際單位制曾經用這個力定義 1 安培。

常見錯誤

電場線有起點與終點（電荷），磁場線永遠是封閉的圈。目前沒有找到單獨的磁單極，這等價於 $\oint\vec B\cdot d\vec A=0$ 。

物質的磁性

磁性來自電子的軌道與自旋磁矩。鐵、鈷、鎳是鐵磁性（磁矩排整齊，能被磁化）；大多數物質磁性很弱。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1長直導線通過 10 A，距導線 0.05 m 處的磁場是多少 T？

第 1 題答案 T

看解答

$B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times0.05}=4\times10^{-5}\ \mathrm T$ 。

2圓形線圈半徑 0.1 m、20 匝、通過 2 A，圓心的磁場是多少 T？

第 2 題答案 T

看解答

$B=\dfrac{\mu_0NI}{2R}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times20\times2}{2\times0.1}=0.000251\ \mathrm T$ 。

3螺線管每公尺 1\times10^{3} 匝，電流 2 A，內部磁場是多少 T？

第 3 題答案 T

看解答

$B=\mu_0nI=4\pi\times10^{-7}\times1\times10^{3}\times2=0.00251\ \mathrm T$ 。

4兩條平行長導線相距 0.02 m，電流分別為 20 A 與 30 A，每公尺受力是多少 N/m？

第 4 題答案 N/m

看解答

$\dfrac FL=\dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times20\times30}{2\pi\times0.02}=0.006\ \mathrm{N/m}$ 。

5兩條平行導線相距 0.1 m，各通過 5 A 的反向電流，兩線正中點的磁場是多少 T？

第 5 題答案 T

看解答

中點距每條導線 $0.1/2=0.05$ m，每條線的場 $\dfrac{\mu_0I}{2\pi\times0.05}$ ；反向電流在中點產生同方向的場，相加： $2\times\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times5}{2\pi\times0.05}=4\times10^{-5}\ \mathrm T$ 。