電磁學　第 29 章

磁場與磁力

磁場只對運動中的電荷施力，而且力永遠垂直速度，所以只轉彎、不加速；電流與載流線圈也受磁力。

磁場與磁力

磁場 $\vec B$ 的單位是特斯拉（T）。運動電荷 $q$ 在磁場中受力：

\vec F=q\vec v\times\vec B,\qquad F=qvB\sin\theta

方向用右手定則（正電荷）：四指由 $\vec v$ 轉向 $\vec B$ ，拇指是力的方向；負電荷則反向。

常見錯誤

磁力永遠垂直於速度，所以不作功，只改變方向，不改變速率。靜止的電荷不受磁力。

在磁場中做圓周運動

速度垂直磁場時，磁力就是向心力： $qvB=\dfrac{mv^2}{r}$ ，所以：

r=\frac{mv}{qB},\qquad f=\frac{qB}{2\pi m}

迴旋頻率 $f$ 與速率、半徑無關，迴旋加速器靠這個性質重複加速粒子。質譜儀用半徑 $r\propto m$ 分辨不同質量的離子。

電流受的力

長度 $L$ 的直導線通過電流 $I$ ，在磁場中受力：

\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad F=ILB\sin\theta

載流線圈的力矩

$N$ 匝、面積 $A$ 、電流 $I$ 的線圈放在均勻磁場中，磁矩 $\mu=NIA$ ，力矩：

\tau=NIAB\sin\theta

$\theta$ 是線圈法線與磁場的夾角。馬達就靠這個力矩轉動，電流表也是（線圈受力矩，被彈簧拉住，偏轉角度正比於電流）。

霍爾效應（了解即可）

載流導體放在垂直磁場裡，載子被偏向一側，兩側產生霍爾電壓，可用來判斷載子的正負號與測磁場。

為什麼磁力不作功卻能工作

馬達能作功是因為電流變化時，感應電動勢、電場力提供能量，磁力只是中間的「轉接」，把電能轉成機械能。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1質子以 3\times10^{6} m/s 的速率垂直射入 0.5 T 的磁場，受到的力是多少 N？

第 1 題答案 N

看解答

$F=qvB=1.602\times10^{-19}\times3\times10^{6}\times0.5=2.4\times10^{-13}\ \mathrm N$ 。

2電子以 2\times10^{6} m/s 的速率垂直射入 0.001 T 的磁場，圓周運動半徑是多少 cm？

第 2 題答案 cm

看解答

$r=\dfrac{mv}{qB}=\dfrac{9.109\times10^{-31}\times2\times10^{6}}{1.602\times10^{-19}\times0.001}=0.0114\ \mathrm m=1.14\ \mathrm{cm}$ 。

3長 0.5 m 的導線通過 4 A 的電流，垂直放在 0.2 T 的磁場中，受力是多少 N？

第 3 題答案 N

看解答

$F=ILB=4\times0.5\times0.2=0.4\ \mathrm N$ 。

4質子在 1.5 T 的磁場中的迴旋頻率是多少 Hz？（ $m_p=1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ）

第 4 題答案 Hz

看解答

$f=\dfrac{qB}{2\pi m}=\dfrac{1.602\times10^{-19}\times1.5}{2\pi\times1.673\times10^{-27}}=2.29\times10^{7}\ \mathrm{Hz}$ 。

5線圈 100 匝、面積 0.01 m²、電流 0.5 A，法線垂直於 0.3 T 的磁場（ $\sin\theta=1$ ），力矩是多少 N·m？

第 5 題答案 N·m

看解答

$\tau=NIAB=100\times0.5\times0.01\times0.3=0.15\ \mathrm{N\cdot m}$ 。

磁場與磁力