熱學　第 20 章

氣體動力論

把氣體看成大量亂跑的分子：壓力是撞牆的平均效果，溫度是平均動能，巨觀公式由此推出。

基本想法

氣體是大量分子的集合。每個分子不斷碰撞，速度各不相同。我們只看平均：壓力是分子撞擊器壁的平均力，溫度反映平均動能。

壓力與溫度

由分子對器壁的衝量可得：

PV=\tfrac13Nm\overline{v^2}

與 $PV=NkT$ 比較（ $k=1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ 是波茲曼常數），得到每個分子的平均平移動能：

\overline{K}=\tfrac12m\overline{v^2}=\tfrac32kT

這說明溫度的意義：溫度正比於分子平均動能，與分子種類無關。

方均根速率

v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}

$M$ 是莫耳質量（kg/mol）。同溫度下，分子越輕跑得越快：氦比氮快。

常見錯誤

$v_{rms}$ 是統計平均，不是每個分子的速度。氣體中有的分子很慢、有的很快，分布稱為馬克士威與波茲曼的速率分布。

均分定理與比熱

每個二次方的自由度，每個分子平均分到 $\tfrac12kT$ 。

單原子分子：3 個平移自由度， $U=\tfrac32nRT$ ， $C_V=\tfrac32R$
雙原子分子（室溫）：加上 2 個轉動， $U=\tfrac52nRT$ ， $C_V=\tfrac52R$

這和量測的氣體比熱吻合；溫度很高時振動也啟動，比熱再增加。

平均自由徑

分子連續兩次碰撞之間走的平均距離： $\lambda=\dfrac{1}{\sqrt2\,\pi d^2(N/V)}$ 。常溫常壓下約 $10^{-7}\ \mathrm m$ ，只比分子大小大幾百倍。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1溫度 300 K 時，氣體分子的平均平移動能是多少 J？（ $k=1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ ）

第 1 題答案 J

看解答

$\overline K=\tfrac32kT=\tfrac32\times1.381\times10^{-23}\times300=6.21\times10^{-21}\ \mathrm J$ 。

2氮氣（莫耳質量 $M=0.028\ \mathrm{kg/mol}$ ）在 300 K 時的方均根速率是多少 m/s？

第 2 題答案 m/s

看解答

$v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\times8.314\times300}{0.028}}=517\ \mathrm{m/s}$ 。

3氦氣（ $M=0.004\ \mathrm{kg/mol}$ ）在 300 K 時的方均根速率是多少 m/s？

第 3 題答案 m/s

看解答

$v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\times8.314\times300}{0.004}}=1.37\times10^{3}\ \mathrm{m/s}$ ，比氮快。

42 mol 單原子理想氣體在 300 K 時的內能是多少 J？

第 4 題答案 J

看解答

$U=\tfrac32nRT=\tfrac32\times2\times8.314\times300=7.48\times10^{3}\ \mathrm J$ 。

5雙原子氣體（室溫）的定容莫耳比熱 $C_V$ 是多少 J/(mol·K)？

第 5 題答案 J/(mol·K)

看解答

$C_V=\tfrac52R=\tfrac52\times8.314=20.8$ 。