普通物理

電磁學　第 24 章

高斯定律

穿過封閉曲面的電通量，只由面內包圍的電荷決定；遇到對稱的電荷分布，用它比直接積分快很多。

電通量

電場穿過一個面的通量：

ΦE=∫E⃗⋅dA⃗\Phi_E=\int\vec E\cdot d\vec A

均勻電場穿過面積 AA、法線與電場夾角 θ\theta 的平面：Φ=EAcos⁡θ\Phi=EA\cos\theta。通量可想成「穿過這個面的電場線條數」。

高斯定律

穿過任何封閉曲面（高斯面）的總通量，只看面內包圍的電荷：

∮E⃗⋅dA⃗=Qencε0\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

面外的電荷對總通量沒有貢獻（進去的線又出來）。

怎麼用

高斯定律永遠成立，但要用它算出 EE，需要電荷分布有高度對稱，才能選一個「EE 在面上大小固定、方向垂直或平行面」的高斯面：

導體

靜電平衡時：

常見錯誤

帶電的導體球殼，內部沒有電場，這叫靜電屏蔽。汽車與飛機的金屬外殼讓雷擊時車內的人安全，同樣是這個原因。

均勻帶電的絕緣球

總電荷 QQ、半徑 RR：球外 E=kQr2E=\dfrac{kQ}{r^2}（等同電荷集中在球心）；球內 E=kQrR3E=\dfrac{kQr}{R^3}，與 rr 成正比。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1一個封閉曲面包圍了 3 nC 的電荷，穿過它的總電通量是多少 N·m²/C？

N·m²/C

看解答

Φ=Qε0=3×10−98.854×10−12=339\Phi=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{3\times10^{-9}}{8.854\times10^{-12}}=339。

2無限大帶電平面，面電荷密度 2 μC/m²，電場大小是多少 N/C？

N/C

看解答

E=σ2ε0=2×10−62×8.854×10−12=1.13×105 N/CE=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{2\times10^{-6}}{2\times8.854\times10^{-12}}=1.13\times10^{5}\ \mathrm{N/C}。

3無限長帶電線，線電荷密度 3 nC/m，在距離 0.5 m 處的電場是多少 N/C？

N/C

看解答

E=λ2πε0r=3×10−92π×8.854×10−12×0.5=108 N/CE=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}=\dfrac{3\times10^{-9}}{2\pi\times8.854\times10^{-12}\times0.5}=108\ \mathrm{N/C}。

4半徑 0.1 m 的導體球帶電 5 nC，球面外緊鄰處的電場是多少 N/C？

N/C

看解答

球外等同電荷集中在球心：E=kQR2=8.988×109×5×10−90.12=4.49×103 N/CE=\dfrac{kQ}{R^2}=\dfrac{8.988\times10^9\times5\times10^{-9}}{0.1^2}=4.49\times10^{3}\ \mathrm{N/C}。

5均勻帶電的絕緣球，Q=8Q=8 nC、半徑 0.2 m，球內距中心 0.1 m 處的電場是多少 N/C？

N/C

看解答

高斯面內只包圍 Q(r/R)3Q(r/R)^3 的電荷：E=kQrR3=8.988×109×8×10−9×0.10.23=899 N/CE=\dfrac{kQr}{R^3}=\dfrac{8.988\times10^9\times8\times10^{-9}\times0.1}{0.2^3}=899\ \mathrm{N/C}。

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