電磁學　第 23 章

電場

電荷在周圍的空間製造電場，其他電荷放進去就受力；電場線畫出場的方向與強弱。

電場的定義

在空間某點放一個很小的正試探電荷 $q_0$ ，它受的力除以 $q_0$ 就是那一點的電場：

\vec E=\frac{\vec F}{q_0},\qquad \vec F=q\vec E

單位 N/C（等於 V/m）。正電荷受力方向與 $\vec E$ 同向，負電荷反向。

點電荷的電場

E=\frac{kQ}{r^2}

正電荷的場向外輻射，負電荷的場向內指。多個電荷的電場是各自電場的向量和。

電場線

從正電荷出發、止於負電荷
線上每一點的切線方向就是該點電場方向
線越密，電場越強
電場線不會相交（一點只有一個方向）

連續電荷分布

把帶電體切成很多小電荷 $dq$ ，每個貢獻 $dE=\dfrac{k\,dq}{r^2}$ ，再向量積分。例：電荷 $Q$ 均勻分布的圓環（半徑 $a$ ），在軸線上距圓心 $x$ 處：

E=\frac{kQx}{(a^2+x^2)^{3/2}}

電偶極

一對等量異號電荷 $\pm q$ 相距 $d$ ，偶極矩 $p=qd$ 。放在均勻電場中受力矩 $\tau=pE\sin\theta$ ，會轉到與場同向，水分子是偶極，所以微波爐能加熱水。

常見錯誤

電場是向量，疊加時要看方向。兩個等量異號電荷的連線中點，兩個場同方向、大小相加；兩個等量同號電荷的連線中點，兩個場方向相反、抵消為零。

帶電粒子在均勻電場中

力 $F=qE$ 固定，所以加速度固定 $a=\dfrac{qE}{m}$ ，運動就是等加速度（和拋體同一套數學）。電子槍、噴墨印表機都這樣偏轉電荷。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1點電荷 5 nC 在距離 0.3 m 處的電場大小是多少 N/C？

第 1 題答案 N/C

看解答

$E=\dfrac{kq}{r^2}=\dfrac{8.988\times10^9\times5\times10^{-9}}{0.3^2}=499\ \mathrm{N/C}$ 。

2電子在 1\times10^{3} N/C 的均勻電場中受力多大（N）？

第 2 題答案 N

看解答

$F=eE=1.602\times10^{-19}\times1\times10^{3}=1.6\times10^{-16}\ \mathrm N$ 。

3電子在 2\times10^{3} N/C 的電場中的加速度是多少 m/s²？（ $m_e=9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ）

第 3 題答案 m/s²

看解答

$a=\dfrac{eE}{m_e}=\dfrac{1.602\times10^{-19}\times2\times10^{3}}{9.109\times10^{-31}}=3.52\times10^{14}\ \mathrm{m/s^2}$ 。

4 $+4\ \mu\mathrm C$ 與 $-4\ \mu\mathrm C$ 兩個電荷相距 0.2 m，連線中點的電場大小是多少 N/C？

第 4 題答案 N/C

看解答

每個電荷在中點（距 $0.2/2=0.1$ m）的場 $=\dfrac{kq}{0.1^2}$ ，兩個場同方向，相加： $2\times\dfrac{8.988\times10^9\times4\times10^{-6}}{0.1^2}=7.19\times10^{6}\ \mathrm{N/C}$ 。

5電荷 2 nC 均勻分布的圓環，半徑 0.1 m，軸線上距圓心 0.1 m 處的電場是多少 N/C？

第 5 題答案 N/C

看解答

$E=\dfrac{kQx}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\dfrac{8.988\times10^9\times2\times10^{-9}\times0.1}{(0.1^2+0.1^2)^{3/2}}=636\ \mathrm{N/C}$ 。

電場

電場的定義

點電荷的電場

電場線

連續電荷分布

電偶極

帶電粒子在均勻電場中

練習題

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