光學　第 37 章

繞射

光通過窄縫會散開：單縫決定中央亮紋有多寬，光柵把光譜分得很開，繞射也決定鏡頭解析度的極限。

什麼是繞射

波遇到與波長相近的障礙或開口，會繞過邊緣散開，不再是直線傳播。聲音能繞過牆角傳進房間、光通過小孔在屏上形成條紋，都是繞射。

單狹縫

寬度 $a$ 的狹縫，屏上出現中央一條寬亮紋，兩側是較暗的亮紋。暗紋位置：

a\sin\theta=m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,\dots

中央亮紋的全寬（小角度，屏距 $L$ ）：

w=\frac{2\lambda L}{a}

縫越窄，繞射越嚴重，條紋越寬。

常見錯誤

注意單縫公式的 $m$ 是暗紋條件，雙縫公式的 $m$ 是亮紋條件，兩者很容易搞混。實際的雙縫圖樣是兩者相乘：雙縫干涉的細條紋被單縫繞射的包絡罩住。

繞射光柵

很多條等間距狹縫（間距 $d$ ）。亮紋又細又亮，位置：

d\sin\theta=m\lambda,\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots

不同波長的亮紋在不同角度，所以光柵可以把光分開成光譜，是光譜儀的核心。光柵的條數越多，亮紋越細，分辨能力越強。光碟表面的彩虹色就是一個光柵。

能看到的最高級次 $m_{max}$ 受限於 $\sin\theta\le1$ ： $m_{max}=\left\lfloor\dfrac d\lambda\right\rfloor$ 。

圓孔與解析度

圓孔（直徑 $D$ ）的繞射使點光源的像變成一個亮斑，角半徑：

\theta=1.22\frac{\lambda}{D}

瑞利準則：兩個點光源的角距離至少要等於這個值才能分辨。這就是望遠鏡、顯微鏡與人眼解析度的極限，口徑越大、波長越短，解析度越好。

X 光繞射

X 射線波長約 $0.1\ \mathrm{nm}$ ，與晶體中原子間距相近，晶體是天然的三維光柵。布拉格條件：

2d\sin\theta=m\lambda

DNA 的雙螺旋結構就是由 X 光繞射的照片推出來的。

練習題

每題輸入數值答案，系統容許約 2% 誤差。卡住時先看提示，最後再看解答。

1單縫寬 0.1 mm、波長 500 nm、屏距 2 m，中央亮紋全寬是多少 mm？

第 1 題答案 mm

看解答

$w=\dfrac{2\lambda L}{a}=\dfrac{2\times500\times10^{-9}\times2}{0.1\times10^{-3}}=20\ \mathrm{mm}$ 。

2光柵每 mm 有 500 條刻線，波長 600 nm 的光，第一級亮紋的角度是幾度？

第 2 題答案度

看解答

$d=1/500\ \mathrm{mm}=2\times10^{-6}\ \mathrm m$ ， $\sin\theta=\dfrac\lambda d=600\times10^{-9}\times500\times10^3=0.3$ ， $\theta=17.5^\circ$ 。

3同一個光柵（每 mm 500 條）與 600 nm 的光，最多能看到第幾級亮紋？

第 3 題答案級

看解答

$m_{max}=\lfloor d/\lambda\rfloor=\lfloor1/0.3\rfloor=3$ 。

4望遠鏡口徑 0.1 m、觀測波長 550 nm，瑞利解析角是多少 rad？

第 4 題答案 rad

看解答

$\theta=1.22\dfrac\lambda D=1.22\times\dfrac{550\times10^{-9}}{0.1}=6.71\times10^{-6}\ \mathrm{rad}$ 。

5X 光波長 0.154 nm 打在晶面間距 0.2 nm 的晶體上，第一級布拉格反射的角度是幾度？

第 5 題答案度

看解答

$\sin\theta=\dfrac{m\lambda}{2d}=\dfrac{0.154}{2\times0.2}=0.385$ ， $\theta=22.6^\circ$ 。

繞射

什麼是繞射

單狹縫

繞射光柵

圓孔與解析度

X 光繞射

練習題

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